y’’[t] + y[t] == 0 の解は sin x と cos x の線形結合．減衰しない周期関数になる．

DSolve[{y''[t]+y[t]==0,y[0]==a,y'[0]==b},y[t],t][[1]]

y’’[t]+γ y’[t]+y[t]==0 の解は γ の値が 0 < γ < 2 のとき，減衰する擬周期関数になる

Assuming[γ<2&&0<γ,
DSolve[{y''[t]+γ y'[t]+y[t]==0,y[0]==0,y'[0]==1},y[t],t]][[1]]//FullSimplify

Manipulate[Plot[((2 (E^(-((t γ)/2))) Sin[(1/2) t (Sqrt[4-(γ^2)])])/(Sqrt[4-(γ^2)])),{t,0,10π},
PlotRange->{{0,10π},{-1,1}}],{γ,0,1,0.1}]

y’’[t]+γ y’[t]+y[t]== F(t)  の解は，上記の挙動を示す系に外力 F(t) を加えたもの．

γ = 0 （減衰なし） で F (t) = cos t （系の周期と同じ周期） の外力を与えるとどうなるかをみてみる．

DSolve[{y''[t]+y[t]==Cos[ω t],y[0]==0,y'[0]==0},y[t],t][[1]]

これを極力簡単化すると

FullSimplify[%]

Limit[((Cos[t]-Cos[t ω])/(-1+(ω^2))),ω->1]

Plot[(1/2) t Sin[t],{t,0,20π},AspectRatio->1]

γ  をいろいろ変え，外力も F (t) = A cos  ω t  の形で A, ω をいろいろ変化させてみる．

Assuming[γ<2&&0<γ && 0<ω,
DSolve[{y''[t]+γ y'[t]+y[t]==A Cos[ω t],y[0]==0,y'[0]==1},y[t],t]]//FullSimplify

Manipulate[Plot[((E^(-(1/2) t (γ+I (Sqrt[4-(γ^2)])))) (2 I (1+(-2+(γ^2)) (ω^2)+(ω^4))+A ((Sqrt[4-(γ^2)]) (-1+(ω^2))-I γ (1+(ω^2)))+(E^(I t (Sqrt[4-(γ^2)]))) (-2 I (1+(-2+(γ^2)) (ω^2)+(ω^4))+A ((Sqrt[4-(γ^2)]) (-1+(ω^2))+I γ (1+(ω^2))))+2 A (E^((1/2) t (γ+I (Sqrt[4-(γ^2)])))) (Sqrt[4-(γ^2)]) (-((-1+(ω^2)) Cos[t ω])+γ ω Sin[t ω])))/(2 (Sqrt[4-(γ^2)]) (1+(-2+(γ^2)) (ω^2)+(ω^4))),{t,0,30π},
PlotRange->{{0,30π},{-6,6}}],{γ,0.0,1.05,0.1},{ω,0.51,1.5,0.1},{A,0,1.5,0.1}]